materi matriks: invers matriks

Pengertian Determinan Matriks

Determinan matriks

A

ditulis dengan sebuah tanda, yaitu:

det(A)

det A

, atau |A|. Determinan bisa dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Apabila matriksnya berbentuk 2 × 2, maka rumus untuk mencari determinan ialah:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}

Contoh Soal:

Tentukan nilai determinan matriks

A \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}

Apabila matriksnya berbentuk 3 × 3 matrix A, maka rumusnya adalah:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}

Contoh perhitungan determinan pada matriks ordo 3:

\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}

Determinan Matriks Ordo 3×3

Ada dua cara dalam menghitung determinan untuk matriks berordo 3×3, yaitu :

Metode Sarrus
Metode Minor-Kofaktor

Cara yang paling mudah atau yang paling sering digunakan dalam menghitung suatu determinan matriks untuk yang berordo 3×3 adalah metode sarrus.

Metode Sarrus

Contohnya anda memiliki matriks A dengan ordo 3×3 seperti berikut :

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

Maka cara menghitung determinannya bisa ditunjukkan dengan gambar sebagai berikut :

Metode eliminasi Gauss juga bisa dipakai.

Sebagai contoh, yaitu pada determinan matriks berikut:

A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}

bisa dihitung dengan menggunakan sebuah matriks berikut:

B={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\2&0&-1\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&0&4.5\\0&2&-4\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\0&2&-4\\0&0&4.5\end{bmatrix}}.

Keterangan:

Di sini, B diperoleh dari A dengan menambahkan −1/2× baris pertama dengan baris yang kedua, sehingga det(A) = det(B).

Kemudian C diperoleh dari B dengan menambahkan kolom pertama dengan kolom ketiga, sehingga det(C) = det(B). Sementara itu, yang D didapat dari C dengan menukar kolom kedua dan ketiga, sehingga det(D) = −det(C). Determinan matriks segitiga D merupakan hasil dari perkalian diagonal utamannya : (−2) · 2 · 4.5 = −18.

Oleh karena itu, det(A) = −det(D) = +18.

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Ada beberapa sifat – sifat determinan matriks, yaitu diantarannya:

1. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom sama dengan nol, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Perhatikan contoh berikut:

Misalkan : $A=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow \left | A \right |=0;\: B=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow \left | B \right |=0$

2. Apabila semua elemen dari salah satu baris atau kolom itu sama dengan elemen-elemen baris atau kolom lain, maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Perhatikan contoh berikut:

Misalkan: B = $\begin{bmatrix} 4 & 3 & 2\\ 5 & 7 & 8\\ 4 & 3 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow \left | B \right |=0$ (Sebab elemen-elemen baris ke-1 dan ke-3 adalah sama).

3. Apabila elemen-elemen salah satu dari baris atau kolom adalah merupakan kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks tersebut adalah nol.

Perhatikan contoh di bawahberikut:

Misalkan: A = $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 5 & 7 & 0\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}\rightarrow \left | A \right |=0$ (Sebab elemen-elemen baris ke-3 sama dengan

kelipatan elemen-elemen baris ke-1).

4. |AB| : |A| ×|B|

5. |AT| = |A|, untuk AT ialah transpose dari matriks A.

6. |A–1| = $\frac{1}{\left | A \right |}$ , untuk A–1 ialah invers dari matriks A.

7. |kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k adalahsuatu konstanta.

Invers Matriks

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar $A$ dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar $A^{-1}$ maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks).

Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar $A$ dan $-A$ akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).

$A \cdot A^{-1} = I$

$A + (-A) = 0$

Invers Matriks Ordo 2 x 2
Invers dari suatu matirks A

$\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$

dinyatakan dalam rumus di bawah.

Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.

Diketahui:

1. $\textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$

Tentukan invers dari matrik A!

Pembahasan:

$\textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

$\textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{12 - 2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

$\textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$

$\textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}$

$\textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix}$

Invers Matriks Ordo 3 x 3

Cara untuk menentukan nilai invers matriks A dengan ordo 3 x 3 tidak sama dengan cara menentukan invers matriks dengan ordo 2 x 2. Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Melalui halaman ini, idschool akan berbagi cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3. Simak ulasannyna pada pembahasan di bawah.

Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.

Matriks Minor
Diketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

Matriks minor $M_{ij}$ adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

Kofaktor
Kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan $C_{ij}$ dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.

Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.
Adjoin
Secara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah.

Keterangan: $C_{ij}$ adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.

Sehinnga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.

$Adj(A) \; = \; \; \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix}$
Invers Matriks
Bagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih.

Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A)$

Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya.

Agar lebih jelas, akan diberikan contoh soal cara mencari invers matriks berodo 3. Simak langkah-langkah yang diberikan di bawah.

Contoh soal menentukan invers matriks berordo 3 x 3

Tentukan invers matriks B yang diberikan pada persamaan di bawah.

$\textrm{B} \; = \; \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$

Pembahasan:

Menghitung nilai determinan B:

$\left| \textrm{B} \right| \; = \; \left| \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \right|$

$\left| \textrm{B} \right| \; = \; 1 \cdot 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 2$

$\left| \textrm{B} \right| \; = \; 6 + 4 + 3 - 6 - 1 - 12 = - 6$

Menentukan Kofaktor:

Berikut ini adalah hasil perhitungan nilai-nilai kofaktor untuk matriks B. Silahkan lihat kembali bagaimana cara mendapatkan nilai kofaktor pada rumus yang telah dibahas di atas jika belum hafal rumusnya.

Untuk menentukan invers B, kita membutuhkan matriks adjoin B. Sehingga, kita perlu menentukan matriks adjoin B terlebih dahulu.

Menentukan Adjoin B:

Adjoin dari matriks B, sesuai dengan persamaan di atas akan diperoleh hasil seperti berikut.

Menentukan Invers Matriks B:

Persamaan umum untuk invers suatu matriks dinyatakan melalui persamaan di bawah.

$B^{-1} \; = \; \frac{1}{det(B)} \cdot Adj(B)$

Sehingga, diperoleh invers matriks B seperti hasil berikut.

Carilah invers matriks dari matriks ordo 3x3 berikut ini :

A =

3 1 0

2 1 1

6 2 2

1. Langkah pertama mencari matriks kofaktornya :

Kof A =

+

1 1

2 2

-

2 1

6 2

+

2 1

6 2

-

1 0

2 2

+

3 0

6 2

-

3 1

6 2

+

1 0

1 1

-

3 0

2 1

+

3 1

2 1

Kof A =

0 2 -2

-2 6 0

1 -3 1

2. Langkah berikutnya adalah mencari matriks ADJOIN nya :

Kof A =

0 2 -2

-2 6 0

1 -3 1

Maka matriks adjoin nya menjadi :

Matriks Adj A =

0 -2 1

2 6 -3

-2 0 1

3. Langkah ketiga mencari determinan dari matriks A:

det(A) =

3 1 0

2 1 1

6 2 2

3 1

2 1

6 2

det(A) = (3.1.2)+(1.1.6)+(0.2.2)-(0.1.6)-(3.1.2)-(1.2.2) = 6 + 6 + 0 - 0 - 6 - 4 = 2
4. Langkah terakhir adalah mencari invers matriksnya :

A^-1= 12

0 -2 1

2 6 -3

-2 0 1

Maka matriknya menjadi :

A^-1=

0 -1 1/2

1 3 -3/2

-1 0 1/2

Contoh Soal Invers Matriks 3x3

Diketahui matriks A seperti di bawah ini:

Tentukan Invers matriks A di atas ?

Jawab.

materi matriks

Selasa, 24 September 2019

invers matriks

Pengertian Determinan Matriks

Determinan Matriks Ordo 3×3

Metode Sarrus

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Invers Matriks

A =

Kof A =

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Kof A =

Kof A =

Matriks Adj A =

det(A) =

A^-1= 12

A^-1=

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Selasa, 24 September 2019

invers matriks

Pengertian Determinan Matriks

determinan ialah sebuah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi.

Determinan Matriks Ordo 3×3

Metode Sarrus

Sifat – Sifat Determinan Matriks

Invers Matriks

A =

Kof A =

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Kof A =

Kof A =

Matriks Adj A =

det(A) =

A-1= 12

A-1=

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

A^-1= 12

A^-1=